Supremum und Infimum

Wir kennen alle das Maximum und das Minimum. Wenn du eine Liste mit fünf Zahlen hast, ist es leicht, die grösste und die kleinste Zahl zu finden. Aber sobald wir uns unendliche Mengen oder offene Intervalle in der Analysis ansehen, bekommen wir ein Problem: Das Maximum existiert oft gar nicht. Hier kommen Supremum und Infimum ins Spiel: Sie sind die "Lückenfüller", die unsere Intuition von Grenzen wieder in Ordnung bringen.

Obere Schranken#

Bevor wir über das Supremum sprechen können, müssen wir klären, was eine Schranke überhaupt ist.

Intuition#

Ein lustiges Bild: Stell dir eine Schafherde (Menge) auf einer Wiese vor. Ein Zaun im Norden verhindert, dass die Schafe weiterlaufen. Es ist dabei völlig egal, ob der Zaun direkt an der Nase des nördlichsten Schafs steht oder fünf Kilometer entfernt ist. Solange kein Schaf nördlich des Zauns ist, ist der Zaun eine gültige "obere Schranke".

Definition#

Beispiel#

Betrachte das Intervall . Die Zahl ist eine obere Schranke, denn keine Zahl in ist grösser als . Auch ist eine obere Schranke. Und ist ebenfalls eine obere Schranke. Es gibt also unendlich viele obere Schranken.

Das Supremum#

Hier wird es interessant. Von all den möglichen Zäunen (Schranken) wollen wir denjenigen finden, der am engsten an der Herde steht.

Intuition#

Stell dir vor, wir haben eine verstellbare Decke über unserer Menge. Wir senken diese Decke immer weiter ab. Irgendwann berührt sie die "Spitze" der Menge. Tiefer können wir nicht gehen, ohne Elemente der Menge zu "zerquetschen" (also auszuschliessen). Diese absolut niedrigste Decke ist das Supremum.

Es gibt dabei zwei Möglichkeiten: Entweder die Decke liegt direkt auf einem Element auf (dann ist das Supremum auch ein Maximum), oder sie schwebt unendlich knapp über den Elementen, berührt aber keines direkt (wie bei einem offenen Intervall).

Definition#

Das Supremum ist definiert als die kleinste obere Schranke. Damit das Supremum ist, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein: Erstens muss eine Schranke sein. Zweitens darf es keine kleinere Schranke geben.

Ein paar Worte zur unteren Charakterisierung: bedeutet, dass wir bei einem kleinen Schritt in die Menge hinein schon Elemente von finden, die grösser als sind.

Ist nicht das Supremum, sondern eine andere obere Schranke, dann passiert nicht unbedingt. Aber da das Supremum ist, ist es die kleinste obere Schranke und bei einem kleinen Schritt in die Menge landen wir schon drin und haben keine Schranke mehr.

Beispiel#

Nimm die Menge .

• Ist das Maximum? Nein, denn .
• Ist das Supremum? Ja.
  1. ist grösser als alle (obere Schranke).
  2. Wenn wir auch nur ein winziges bisschen unter gehen (sagen wir zu ), dann ist das keine Schranke mehr, weil Zahlen wie aus der Menge darüber liegen. Daher ist .

Gegenbeispiel#

Betrachte die leere Menge . Das ist ein pathologischer Fall. Jede reelle Zahl ist eine obere Schranke der leeren Menge (da es keine Elemente gibt, die der Aussage widersprechen könnten). Da es keine "kleinste" reelle Zahl gibt, ist das Supremum über den reellen Zahlen hier nicht definiert (oder wird formal oft als bezeichnet). Das Konzept der "kleinsten oberen Schranke" bricht hier zusammen, wenn wir uns nur auf beschränken, ohne zuzulassen.

Das ist der Grund, warum wir immer nichtleere Mengen betrachten.

Das Infimum#

Alles, was wir oben gesagt haben, gilt analog für die untere Seite. Das Infimum ist die grösste untere Schranke.

Die Essenz#

Übungen#

1. Bestimme (falls vorhanden) Supremum, Infimum, Maximum und Minimum der Menge $M = { \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N} }.

2. Sei . Was ist ? Ist dieses Supremum auch ein Maximum?

3. Wahr oder Falsch: Eine endliche Menge (z.B. ) hat immer ein Supremum, das gleich ihrem Maximum ist.