Offene und abgeschlossene Mengen

In der Analysis geht es oft darum, wie nah wir an Dinge herankommen können. Hier beschäftigen wir uns mit der Frage, ob der Rand einer Menge dazugehört oder ob wir theoretisch unendlich nah an den Rand gehen können, ohne ihn jemals zu berühren.

Offene Mengen#

Intuition#

Stell dir eine offene Menge wie eine Menge mit einer "Sicherheitszone" vor. Egal wo du in dieser Menge stehst, du kannst dich immer noch ein kleines Stückchen in jede Richtung bewegen, ohne die Menge zu verlassen. Es gibt keinen scharfen Rand, an dem du stehst. Selbst wenn du extrem nah am Rand bist, gibt es immer noch ein mikroskopisch kleines Polster um dich herum, das komplett zur Menge gehört.

Genauer: Für jeden Punkt kann man eine kleine Umgebung anschauen, in der alle Nachbarn in der Menge sind.

Definition#

Beispiel#

Das offene Intervall $U = (0, 1)$ ist eine offene Menge. Wähle irgendeinen Punkt, sagen wir $x = 0.0001$. Das ist schon ziemlich nah am Rand. Aber wir können $\varepsilon = 0.00005$ wählen. Das Intervall $(0.00005, 0.00015)$ liegt immer noch komplett in $(0, 1)$. Egal wie nah wir an die 0 oder 1 herangehen, wir finden immer Platz.

Gegenbeispiel#

Das Intervall $A = [0, 1)$ ist nicht offen. Betrachte den Punkt $x = 0$, der in $A$ liegt. Egal wie klein wir unser $\varepsilon > 0$ wählen, das Intervall $(-\varepsilon, \varepsilon)$ ragt auf der linken Seite aus der Menge heraus (da negative Zahlen nicht in $A$ sind). Der Punkt 0 hat keine "Sicherheitszone" innerhalb der Menge.

Abgeschlossene Mengen#

Intuition#

Eine Menge ist abgeschlossen, wenn das "Draussen" (das Komplement) offen ist.

Es gibt eine andere Sichtweise auf Abgeschlossenheit, die oft die praktischere ist, wenn man später Konvergenz kennt: Wenn eine Folge von Punkten, die alle in der Menge liegen, sich einem Grenzwert nähert, dann muss dieser Grenzwert auch in der Menge liegen. Man kann nicht "rauskonvergieren", wenn man rein Elemente aus der Menge verwendet.

Man sagt auch: Die Menge enthält ihren kompletten Rand.

Definition#

a) Ihr Komplement $A^c = \mathbb{R} \setminus A$ offen ist.

b) Äquivalent dazu gilt: $A$ ist abgeschlossen, wenn für jede konvergente Folge $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ mit $a_n \in A$ gilt, dass auch der Grenzwert $\lim\limits_{n \to \infty} a_n$ in $A$ liegt.

Beispiel#

Mit der Definition a): Das abgeschlossene Intervall $A = [0, 1]$ ist abgeschlossen, da sein Komplement $(-\infty, 0) \cup (1, \infty)$ offen ist. Für jeden Punkt sind wir in der Lage, ein $\varepsilon > 0$ zu finden, sodass das Intervall $(x - \varepsilon, x + \varepsilon)$ vollständig in $A$ enthalten ist.

In Worten: Alle Nachbarn in einer kleinen Umgebung von $x$ sind auch in $A$ enthalten.

Mit der Definition b): Das abgeschlossene Intervall $A = [0, 1]$ ist abgeschlossen. Nimm eine Folge wie $a_n = \frac{1}{n}$. Alle Glieder liegen in $A$. Die Folge strebt gegen 0. Die 0 ist in $[0, 1]$ enthalten. Der Grenzwert wurde "gefangen".

Gegenbeispiel#

Das Intervall $B = (0, 1]$ ist nicht abgeschlossen. Betrachte wieder die Folge $a_n = \frac{1}{n}$. Jedes Glied dieser Folge ist grösser als 0 und kleiner-gleich 1, liegt also in $B$. Der Grenzwert der Folge ist aber 0. Und $0 \notin B$. Der Grenzwert ist aus der Menge "herausgefallen". Die Menge hat ein Loch am linken Rand, durch das Grenzwerte entkommen können.

Häufungspunkte#

Das Skript wird später auch auf Häufungspunkte eingehen. Das hängt eng mit der Abgeschlossenheit zusammen. Die Idee ist, das jetzt schon einmal zu zeigen für das bigger picture, wir werden es aber später nochmal genauer erläutern.

Intuition#

Ein Häufungspunkt ist ein Ort, an dem sich die Punkte einer Menge "drängeln". Es ist egal, ob der Punkt selbst zur Menge gehört. Wichtig ist, dass in jeder noch so kleinen Umgebung unendlich viele andere Punkte der Menge liegen.

Definition#

Das bedeutet einfach: In der Nähe von $x_0$ gibt es immer mindestens einen weiteren Punkt aus $D$ (und damit automatisch unendlich viele).

Der Kern der Sache#

Eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn sie alle ihre Häufungspunkte enthält. Das ist oft der schnellste Weg, um Abgeschlossenheit zu prüfen.

Übungen#

Sind die folgenden Mengen offen, abgeschlossen, beides oder keines von beiden?

1. $\set{}$ (die leere Menge), $\mathbb R$ (Argumentiere mit der Definition mit den Nachbarn)
2. $[0, \infty)$
3. $\set{1, 4, 8}$
4. $\set{\frac 1 n \mid n \in \mathbb N ^+}$
5. $\set{\frac 1 n \mid n \in \mathbb N ^+} \cup \set 0$
6. $\bigcup\limits_{n = 1}^\infty [\frac 1 n, 1]$
7. $\bigcap\limits_{n = 1}^\infty (0, \frac 1 n)$
8. $\mathbb Q$