Warum wir Spielregeln brauchen, damit die Mathematik nicht zusammenbricht.
Was ist , hast du dich das mal gefragt? , fertig, würde man sagen. Aber hast du mal hinterfragt, ob dasselbe ist wie ? Klingt banal, ist aber nicht selbstverständlich.
Nein? Höchste Zeit, das kurz einmal zu tun.
Die Antwort liegt in den Axiomen. Das sind die fundamentalen Grundregeln, auf die wir uns geeinigt haben und die wir nicht beweisen, sondern voraussetzen.
Axiome sind das Fundament der Mathematik. Hier schauen wir uns die Körperaxiome, Anordnungsaxiome und das Vollständigkeitsaxiom an. Die Körperaxiome garantieren uns im Wesentlichen zwei Dinge: Wir können uns auf dem Zahlenstrahl in beide Richtungen bewegen (Addition/Subtraktion) und wir können skalieren (Multiplikation/Division), ohne dass logische Widersprüche entstehen.
Die Menge der rationalen Zahlen ist ein Körper. Du kannst Brüche addieren, multiplizieren und dividieren, ausser durch 0. Daher nimmt man 0 aus der Menge raus, wenn es um die Multiplikativität geht. Alles bleibt in der Menge . Wenn du rechnest, kommt wieder eine rationale Zahl heraus.
Die ganzen Zahlen bilden keinen Körper. Zwar funktionieren Addition und Multiplikation, aber es fehlt meistens das multiplikative Inverse. Das Inverse von wäre , aber ist nicht in . Man fliegt aus der Menge raus. Deshalb können wir in Gleichungen wie nicht lösen.
Hier bringen wir Ordnung in das Chaos. Wir wollen sagen können, wer "grösser" oder "kleiner" ist. Intuitiv bedeutet das, dass alle Zahlen auf einer Linie aufgereiht sind. Wenn links von liegt, ist . Wichtig ist auch, dass diese Ordnung stabil bleibt, wenn wir rechnen: Wenn du zwei ungleich schwere Gewichte hast und auf beide Seiten 1kg legst, bleibt das Verhältnis gleich.
Die komplexen Zahlen bilden keinen angeordneten Körper. Versuch mal zu entscheiden, ob oder ist.
Vielleicht hast du dich gefragt, was die Verträglichkeit (5 und 6) bringt. 5 hatten wir oben, 6 gibt es genau für solche technischen Sachen:
, also ist entweder oder .
Angenommen , dann müsste sein (wegen der Verträglichkeit). Aber , und ist sicher nicht grösser als 0.
Angenommen , dann wäre . Dann müsste sein. Das ist aber wieder .
Egal wie man es dreht, die Anordnung bricht zusammen. In gibt es kein "links" oder "rechts".
Das ist der entscheidende Unterschied zwischen und . Stell dir den Zahlenstrahl vor. Wenn du nur hast, ist dieser Strahl voller Löcher (wie ein Schweizer Käse). An der Stelle, wo sein sollte, klafft ein Loch, weil nicht als Bruch schreibbar ist. Die Vollständigkeit sagt: "Wir stopfen alle Löcher." Wenn du eine Menge hast, die nach oben beschränkt ist (also eine Obergrenze hat), dann gibt es eine kleinste Obergrenze, die den "Rand" der Menge exakt berührt. Das ist das Supremum.
Betrachte die gleiche Menge in den rationalen Zahlen: .
Was ist hier das Supremum? Es kann nicht sein, denn .
Könnte es 1.41 sein? Nein, ist grösser und näher dran.
Könnte es sein? Nein, ist noch näher.
In gibt es keine kleinste obere Schranke für diese Menge. Man kommt dem Loch unendlich nahe, fällt aber nie auf einen exakten Punkt. Deshalb ist nicht vollständig.
