Die Archimedische Eigenschaft

In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit einem der fundamentalsten Bausteine der Analysis. Es mag trivial klingen, aber die Tatsache, dass die reellen Zahlen keine "unendlich kleinen" oder "unendlich grossen" Lücken haben, ist der Grund, warum Grenzwerte überhaupt funktionieren.

Das Prinzip von Archimedes#

Intuition#

Stell dir vor, du stehst am Fuss eines riesigen Berges. Du kannst nur kleine Schritte machen, sagen wir einen halben Meter pro Schritt. Der Berg ist gigantisch, vielleicht 8000 Meter hoch. Die Intuition hinter der Archimedischen Eigenschaft ist simpel: Egal wie klein deine Schritte sind () und egal wie weit das Ziel entfernt ist (), wenn du nur oft genug Schritte machst (), wirst du das Ziel irgendwann übertreffen. Es gibt keine Distanz in den reellen Zahlen, die "unendlich weit" weg ist.

Definition#

Hier formulieren wir das Ganze präzise. Wir betrachten dazu die Menge der natürlichen Zahlen und die reellen Zahlen .

Es gibt auch diese etwas kompaktere Variante, die im Grunde dasselbe aussagt (setze hierfür einfach ):

Beispiel#

Schauen wir ein illustratives Beispiel an:

Nehmen wir an, wir haben eine extrem kleine positive Zahl und eine ziemlich grosse Zahl . Die Frage ist: Können wir überholen, indem wir oft genug addieren?

Ja: Wir suchen ein , sodass . Formen wir um: . Wählen wir also . Dann gilt: Das funktioniert immer, egal wie klein oder wie gross gewählt wird.

Gegenbeispiel#

Warum ist das erwähnenswert? Weil es Zahlensysteme gibt, in denen das nicht gilt. Stell dir ein System vor, das "Infinitesimale" enthält: Zahlen, die grösser als 0 sind, aber kleiner als jede positive reelle Zahl (wie in der Nichtstandardanalysis). Nennen wir eine solche infinitesimale Zahl .

Wenn du zu sich selbst addierst (), würdest du in diesem System niemals die Zahl 1 erreichen, egal wie gross ist. wäre in diesem Sinne "unendlich klein" gegenüber der 1. Die reellen Zahlen besitzen solche Elemente nicht.

Die genauen Details dieses Gegenbeispiels sind nicht wichtig für diese Vorlesung. Es zeigt aber genau, dass die Archimedische Eigenschaft so natürlich für uns ist, dass wir uns nur schwer etwas anderes vorstellen können.

Konsequenz: Kehrwerte#

Die vielleicht wichtigste Anwendung dieses Prinzips begegnet dir ständig bei -Beweisen. Wenn die natürlichen Zahlen über jede Schranke wachsen, müssen ihre Kehrwerte beliebig klein werden.

Intuition#

Wenn du eine Pizza in immer mehr Stücke schneidest ( wird gross), wird jedes einzelne Stück immer winziger ( wird klein). Die Archimedische Eigenschaft garantiert uns, dass die Stücke irgendwann kleiner sind als jeder noch so kleine Krümel (), den du dir vorstellen kannst.

Definition#

Warum brauchen wir das überhaupt?#

Dieser Satz ist das formale Rückgrat für die Aussage . Ohne die Archimedische Eigenschaft könnten wir nicht garantieren, dass wir mit wirklich beliebig nah an die Null kommen. Es könnte sonst eine Lücke geben, einen kleinen Abstand, den wir nie unterschreiten.

Ist das nicht eigentlich selbstverständlich? Ja, aber nur weil wir die reellen Zahlen als gegeben hinnehmen und intuitiv manchmal besser kennen, als uns bewusst ist. In der Analysis müssen wir aber alles beweisen.